Описанная окружность около четырехугольника свойства. Вписанные и описанные четырехугольники
Вписанный
четырехугольник - четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной
вокруг четырехугольника.
Описанный четырехугольник - такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.
На рисунке - вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.
Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.
1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Пусть угол А равен 82°. Тогда напротив него лежит угол в 98 градусов. Если угол В равен 58°, то угол D равен 180° - 58° = 122°.
Ответ: 122.
2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.
Пусть сторона АВ равна х, AD равна 2х, а DС - 3х. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
х + 3х = ВС + 2х.
Получается, что ВС равна 2х. Тогда периметр четырехугольника равен 8х. Мы получаем, что х = 4, а большая сторона равна 12.
3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.
Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны a и c, а боковые стороны - b и d. По свойству описанного четырехугольника,
a + c = b + d, и значит, периметр равен 2(a + c).
Получаем, что а + с = 20, а средняя линия равна 10.
Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны180° .
Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны .
Четырёхугольник вписан в окружность (задачи). Продолжаем рассматривать задания входящие в состав ЕГЭ по математике. В этой статье мы решим несколько задач с использованием свойств вписанного угла. Теория была подробно уже изложена, . В указанной статье решение заданий по сути сводилось к применению свойства вписанного угла сразу же, то есть это были задания практически в одно действие. Здесь нужно чуть подумать, ход решения не всегда с ходу очевиден.
Применяются: теорема о сумме углов треугольника, свойства вписанного угла, свойство четырёхугольника вписанного в окружность. О последнем подробнее.
*Это свойство было уже представлено, но в другой интерпретации. Итак:
Свойства:
Вписанный четырехугольник - это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180 градусам.
То есть, если мы такой четырёхугольник, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.
Рассмотрим задачи:
27870. В окружности с центром O AC и BD - диаметры. Центральный угол AOD равен 110 0 . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.
Треугольник B ОC равнобедренный, так как ОС=ОВ (это радиусы). Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим ∠BOC и ∠AOD:
Следовательно
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть
Другой способ:
Угол АОВ является центральным углом для вписанного угла АСВ. По свойству вписанного в окружность угла
Сумма смежных углов равна 180 0 , значит
Таким образом
Ответ: 35
27871. Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58 0 . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Здесь достаточно вспомнить свойство такого четырёхугольника. Известно, что сумма его противоположных углов такого равна 180 градусам, значит угол С будет равен
Второй способ:
Построим ОВ и OD.
По свойству вписанного угла градусная величина дуги BCD равна
2∙58 0 = 116 0
Следовательно градусная величина дуги BAD будет равна
360 0 – 116 0 = 244 0
По свойству вписанного угла угол С будет в два раза меньше, то есть 122 0 .
Ответ: 122
27872. Стороны четырехугольника ABCD AB , BC , CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95 0 , 49 0 , 71 0 , 145 0 . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Построим радиусы АО, OD, OC:
Градусная величина дуги AD равна 145 0 , градусная величина дуги СD равна 71 0 , значит градусная величина дуги АDС равна 145 0 + 71 0 = 216 0 .
По свойству вписанного угла угол В будет в два раза меньше центрального угла соответствующего дуге АDС, то есть
Ответ: 108
27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.
Данная задача может вызвать затруднение. Сразу невозможно явно увидеть ход решения. Вспомним, что известно про вписанный четырёхугольник: сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Найдём
На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, сделайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можно найти исходя из данных величин».
Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу, это означает, что они равны, то есть
Ответ: 70
27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABC . Ответ дайте в градусах.
Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно
В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:
Отмечу, что важно помнить указанные свойства и задачи вы решите без проблем. Конечно, можно выстроить решение не совсем корректно. Например, в задаче 27876 для самостоятельного решения приведено «длинное», или как ещё говорят нерациональное решение. Ничего страшного, если вы именно также решите задачу.
Главное чтобы вы помнили и применяли теорию, и в конечном итоге РЕШИЛИ задание.
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, приглашаю вас на блог!
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких
Комиссия спрашивает у директора простой сельской школы:
— По какой причине у вас все дети говорят: пришедши, ушедши?
— А кто их знает, может они так привыкши!
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Определение 2
Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.
Рисунок 1. Вписанная окружность
Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)
Теорема 1
В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK.\ $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M\ и\ L$. Так как $OM,OK\ и\ OL$ - перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.
Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Определение 3
Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).
Определение 4
Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.
Рисунок 3. Описанная окружность
Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)
Теорема 2
Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)
Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2
Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.
Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна ${180}^0$.
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна ${180}^0$, то около него можно описать окружность.
Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности
Пример 1
В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.
Решение.
Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:
Рисунок 5.
Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора ${BM}^2={BC}^2-{MC}^2,\ BM=\sqrt{{BC}^2-\frac{{AC}^2}{4}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$. $OM=OH=r$ -- искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4\ см$. Следовательно, $BH=5-4=1\ см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:
\[{(3-r)}^2=r^2+1\] \ \ \
Ответ: $\frac{4}{3}$.
Окружность называется вписанной в четырехугольник, если все стороны четырехугольника являются касательными к окружности.
Центром этой окружности является точка пересечения биссектрис углов четырехугольника. В этом случае радиусы, проведенные в точки касания являются перпендикулярами к сторонам четырехугольника
Окружность называется описанной около четырехугольника, если она проходит через все его вершины.
Центром этой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырехугольника
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность и не около всякого четырехугольника можно описать окружность
СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ
ТЕОРЕМА В выпуклом вписанном четырехугольнике суммы противолежащих углов равны между собой и равны 180°.
ТЕОРЕМА Обратно: если в четырехугольнике суммы противолежащих углов равны, то около четырехугольника можно описать окружность. Ее центр - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
ТЕОРЕМА Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противолежащих сторон его равны.
ТЕОРЕМА Обратно: если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. Ее центр - точка пересечения биссектрис.
Следствия: из всех параллелограммов только около прямоугольника (в частности около квадрата) можно описать окружность.
Из всех параллелограммов только в ромб (в частности в квадрат) можно вписать окружность (центр - точка пересечения диагоналей, радиус - равен половине высоты).
Если около трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная. Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Если в трапецию вписана окружность, то радиус ее равен половине высоты.
Задания с решениями
1. Найти диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.
Центром окружности, описанной около прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Следовательно, диагональ АС
равна 2R
. То есть АС
=10
Ответ: 10.
2. Около трапеции, основания которой 6 см и 8 см, а высота 7см, описан круг Найти площадь этого круга.
Пусть DC =6, AB =8. Так как около трапеции описана окружность, то она равнобедренная.
Проведем две высоты DM и CN .Так как трапеция равнобедренная, то AM=NB =
Тогда AN =6+1=7
Из треугольника ANС по теореме Пифагора найдем АС .
Из треугольника CВN по теореме Пифагора найдем ВС .
Окружность, описанная около трапеции, является и окружностью, описанной около треугольника АСВ.
Найдем площадь этого треугольника двумя способами по формулам
Гдe h - высота и - основание треугольника
Где R- радиус описанной окружности.
Из этих выражений получаем уравнение . Откуда
Площадь круга будет равна
3. Углы , и четырехугольника относятся как . Найдите угол , если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах
Из условия следует, что .Так как около четырехугольника можно описать окружность, то
Получаем уравнение . Тогда . Сумма всех углов четырехугольника равна 360º. Тогда
. откуда получаем, что
4.Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.
Тогда средняя линия равна
5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.
В трапеции радиус вписанной окружности равен половине высоты. Проведем высоту СК.
Тогда .
Так как в трапецию вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Тогда
Тогда периметр
Получаем уравнение
6. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.
Пусть О центр описанной около трапеции окружности. Тогда .
Проведем высоту КН через точку О
Тогда , где КО и ОН высоты и одновременно медианы равнобедренных треугольников DOC и АОВ. Тогда
По теореме Пифагора.
1 . Сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника больше суммы его двух противоположных сторон.
2 . Если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника
а) равны, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны;
б) перпендикулярны, то диагонали четырёхугольника равны.
3 . Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на её средней линии.
4 . Стороны параллелограмма равны и . Тогда четырёхугольник, образованный пересечениями биссектрис углов параллелограмма, является прямоугольником, диагонали которого равны .
5 . Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.
6 . На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD взяты точки М и N так, что прямые МС и NC делят параллелограмм на три равновеликие части. Найдите MN, если BD=d.
7 . Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключённый внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.
8 . Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями и проведена прямая, параллельная основаниям. Отрезок этой прямой, заключенный между боковыми сторонами трапеции, равен .
9 . Трапеция разделена прямой, параллельной её основаниям, равным и , на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами, равен .
10 . Если выполняется одно из следующих условий, то четыре точки А, В, С и D лежат на одной окружности.
а) CAD=CBD = 90°.
б) точки А и В лежат по одну сторону от прямой CD и угол CAD равен углу CBD.
в) прямые АС и BD пересекаются в точке О и О А ОС=ОВ OD.
11 . Прямая, соединяющая точку Р пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых АВ и CD, делит сторону AD пополам. Тогда она делит пополам и сторону ВС.
12 . Каждая сторона выпуклого четырёхугольника поделена на три равные части. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены отрезками. Тогда эти отрезки делят друг друга на три равные части.
13 . Две прямые делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Тогда между этими прямыми заключена треть площади четырёхугольника.
14 . Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то отрезок, соединяющий точки, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон четырёхугольника, проходит через точку пересечения диагоналей.
15 . Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в такой четырёхугольник можно вписать окружность.
16. Свойства вписанного четырёхугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Р. Тогда
а) медиана треугольника АРВ перпендикулярна стороне CD;
б) ломаная АОС делит четырёхугольник ABCD на две равновеликие фигуры;
в) АВ 2 +CD 2 =4R 2 ;
г) АР 2 +ВР 2 +СР 2 +DP 2 = 4R 2 и АВ 2 +ВС 2 +CD 2 +AD 2 =8R 2 ;
д) расстояние от центра окружности до стороны четырёхугольника вдвое меньше противоположной стороны.
е) если перпендикуляры, опущенные на сторону AD из вершин В и С, пересекают диагонали АС и BD в точках Е и F, то BCFE - ромб;
ж) четырёхугольник, вершины которого - проекции точки Р на стороны четырёхугольника ABCD, - и вписанный, и описанный;
з) четырёхугольник, образованный касательными к описанной окружности четырёхугольника ABCD, проведёнными в его вершинах, можно вписать в окружность.
17 . Если a, b, c, d - последовательные стороны четырёхугольника, S - его площадь, то , причем равенство имеет место только для вписанного четырёхугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
18
. Формула Брахмагупты.
Если стороны вписанного четырехугольника равны a, b, с
и d,
то его площадь S
может быть вычислена по формуле ,
где - полупериметр четырехугольника.
19 . Если четырёхугольник со сторонами а , b, с, d можно вписать и около него можно описать окружность, то его площадь равна .
20 . Точка Р расположена внутри квадрата ABCD, причем угол PAB равен углу РВА и равен 15°. Тогда треугольник DPC - равносторонний.
21 . Если для вписанного четырёхугольника ABCD выполнено равенство CD=AD+ВС, то биссектрисы его углов А и В пересекаются на стороне CD.
22 . Продолжения противоположных сторон АВ и CD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке М, а сторон AD и ВС - в точке N. Тогда
а) биссектрисы углов AMD и DNC взаимно перпендикулярны;
б) прямые МQ и NQ пересекают стороны четырёхугольника в вершинах ромба;
в) точка пересечения Q этих биссектрис лежит на отрезке, соединяющем середины диагоналей четырёхугольника ABCD.
23 . Теорема Птолемея. Сумма произведений двух пар противоположных сторон вписанного четырёхугольника равна произведению его диагоналей.
24 . Теорема Ньютона. Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.
25 . Теорема Монжа. Прямые, проведённые через середины сторон вписанного четырёхугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.
27 . Четыре круга, построенных на сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах, покрывают весь четырёхугольник.
29 . Два противоположных угла выпуклого четырёхугольника - тупые. Тогда диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.
30. Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма вне его, сами образуют квадрат.