Определение скоростей точек плоской фигуры. Определение скоростей точек плоской фигуры Скорости точек тела плоской фигуры

ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Учебные вопросы:

1.Уравнения плоского движения твердого тела.

2. Скорость точек плоской фигуры

3. Мгновенный центр скоростей

4. Ускорения точек плоской фигуры

1.Уравнения плоского движения твердого тела

Плоским движением твёрдого тела называют такое движение, при котором все точки сечения тела движутся в своей плоскости.

Пусть твёрдое тело 1 совершает плоское движение.

Секущая плоскость в теле 1 образует сечение П, которое перемещается в секущей плоскости .

Если параллельно плоскости выполнить другие сечения тела, например через точки
и т.д., лежащие на одном перпендикуляре к сечениям, то все эти точки и все сечения тела будут перемещаться одинаково.

Следовательно, движение тела в этом случае полностью определяется движением одного из его сечений в какой-либо из параллельных плоскостей, а положение сечения – положением двух точек этого сечения, например А и В .

Положение сечения П в плоскости Оху определяют положением отрезка АВ, проведённого в этом сечении. Положение двух точек на плоскости А(
) и В(
) характеризуется четырьмя параметрами (координатами), на которые накладывают одно ограничение - уравнение связи в виде длины отрезка АВ:

Поэтому положение сечения П в плоскости можно задать тремя независимыми параметрами - координатами
точки А и углом , который образует отрезок АВ с осью Ох. Точку А, выбранную для определения положения сечения П, называют ПОЛЮСОМ.

При движении сечения тела его кинематические параметры являются функциями времени

Уравнения являются кинематическими уравнениями плоского (плоскопараллельного) движения твёрдого тела. Теперь покажем, что в соответствии с полученными уравнениями тело при плоском движении совершает поступательное и вращательное движения. Пусть на рис. сечение тела, заданное отрезком
в системе координат Оху, переместилось из начального положения 1 в конечное положение 2.

Покажем два способа возможного перемещения тела из положения 1 в положение 2.

Первый способ. За полюс примем точку .Перемещаем отрезок
параллельно самому себе, т.е. поступательно, по траектории , до совмещения точек и . Получаем положение отрезка . на угол и получаем конечное положение плоской фигуры, заданное отрезком
.

Второй способ. За полюс примем точку . Перемещаем отрезок
параллельно самому себе, т.е. поступательно по траектории
до совмещения точек и.Получаем положение отрезка
. Далее поворачиваем этот отрезок вокруг полюса на угол и получаем конечное положение плоской фигуры, заданное отрезком
.

Сделаем следующие выводы.

1. Плоское движение в полном соответствии с уравнениями представляет собой совокупность поступательного и вращательного движений, причем модель плоского движения тела можно рассматривать как поступательное движение всех точек тела вместе с полюсом и вращение тела относительно полюса.

2. Траектории поступательного движения тела зависят от выбора полюса . На рис. 13.3 в рассмотренном случае видим, что в первом способе движения, когда за полюс принимали точку,траектория поступательного движения значительно отличается от траектории
для другого полюса В.

3. Вращение тела от выбора полюса не зависит. Угол вращения тела остается постоянным по модулю и направлению вращения . В обоих случаях, рассмотренных на рис. 13.3, вращение произошло против вращения часовой стрелки.

Основными характеристиками тела при плоском движении являются: траектория движения полюса, угол вращения тела вокруг полюса, скорость и ускорения полюса, угловая скорость и угловое ускорение тела . Дополнительные оси
при поступательном движении перемещаются вместе с полюсом А параллельно основным осям Оху по траектории движения полюса.

Скорость полюса плоской фигуры можно определить с помощью производных по времени от уравнений:

Аналогично определяют угловые характеристики тела: угловую скорость
;

угловое ускорение

.

На рис. в полюсе А показаны проекции вектора скорости на оси Ох,Оу. Угол вращения тела , угловая скоростьи угловое ускорениепоказаны дуговыми стрелками вокруг точки А. В связи с независимостью вращательных характеристик движения от выбора полюса угловые характеристики ,, можно показывать в любой точке плоской фигуры дуговыми стрелками, например в точке В.

Просмотр: эта статья прочитана 11766 раз

Pdf Выберите язык... Русский Украинский Английский

Краткий обзор

Полностью материал скачивается выше, предварительно выбрав язык

Плоскопараллельным или плоским движением твердого тела называется движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, которые параллельны некоторой недвижимой плоскости (базовой).

Изучение плоского движения абсолютно твердого тела сведится к изучению одного сечения плоской фигуры, которое определяется движением трех точек, которые не лежат на одной прямой.

Задав угол поворота тела вокруг прямой, которая проходит через полюс А перпендикулярно к плоскости сечения, получим закон плоскопаралельного движения

Плоскопараллельное движение твердого тела состоит из поступательного,при котором точки тела движутся вместе с полюсом, и вращательного вокруг полюса.

Основные кинематические характеристики плоского движения тела:

• скорость и ускорение поступательного движения полюса,
• угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса.

Траектория произвольной точки плоской фигуры определяется расстоянием от точки до полюса А и углом вращения вокруг полюса.

Определение скоростей точек плоской фигуры

Скорость произвольной точки равна геометрической сумме скорости точки, которая принята за полюс, и вращательной скорости данной точки в ее вращательном движении вместе с телом вокруг полюса.

Модуль и направление скорости находится построением соответствующего параллелограмма.

Мгновенный центр скоростей (МЦС)

Мгновенный центр скоростей (МЦС) - точка, скорость которой в данный момент времени равна нулю. МЦС рассматривают в качестве полюса.

1. Скорость произвольной точки тела, которая принадлежит плоской фигуре, равняется ее вращательной скорости вокруг мгновенного центра скоростей. Модуль скорости произвольной точки А равняется произведению угловой скорости тела на длину отрезка от точки до МЦС. Вектор направлен перпендикулярно к отрезку от точки до МЦС в направлении вращения тела
2. Модули скоростей точек тела пропорциональны их расстояниям до МЦС

Случаи определения мгновенного центра скоростей

1. Если известны скорость одной точки тела, угловая скорость вращения тела, то для нахождения МЦС (Р) необходимо повернуть вектор скорости точки в сторону вращения на 90 0 и на найденном луче отложить отрезок АР
2. Если скорости двух точек тела параллельны и перпендикулярны прямой, которая проходит через эти точки, то МЦС находится в точке пересечения этой прямой и прямой, которая соединяет концы векторов скоростей
3. Если известны направления скоростей двух точек тела и их направления не параллельны, то МЦС находится в точке Р пересечения перпендикуляров, проведенных к скоростям в этих точках
4. Если колесо катится по недвижимой поверхности без скольжения, то МЦС (Р) находится в точке соприкосновения колеса с недвижимой поверхностью

В случаях 2 и 3 возможные исключения (мгновенно поступательное движение или мгновенный покой).

Сложное движение точки

Сложное движение точки - движение, при котором точка одновременно принимает участие в нескольких движениях.

Относительное движение - движение относительно подвижной системы отсчета.

Переносное движение - движениет подвижной системы отчета (переносящей среды) вместе с точкой относительно неподвижной системы отсчета.

Абсолютное движение - движение точки относительно недвижимой системы отсчета
Абсолютное движение точки является сложным движением, т.к. состоит из относительного и переносного движений.

При сложном движении абсолютная скорость точки равняется геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей

Определение ускорений точки

Абсолютное ускорение точки равняется геометрической сумме трех векторов: относительного ускорения, характеризующего изменение относительной скорости в относительном движении; переносного ускорения, характеризующего изменение переносной скорости точки в переносном движении, и ускорения Кориолиса, характеризующего изменение относительной скорости точки в переносном движении и переносной скорости в относительном движении.

Ускорением Кориолиса точки называется двойное векторное произведение угловой скорости переносящей среды и относительной скорости точки.

Формат: pdf

Язык: русский, украинский

Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи. Выполнен выбор материала, расчет допускаемых напряжений, расчет на контактную и изгибную прочность.

Пример решения задачи на изгиб балки
В примере построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, найдено опасное сечение и подобран двутавр. В задаче проанализировано построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей, провелен сравнительный анализ различных поперечных сечений балки.

Пример решения задачи на кручение вала
Задача состоит в проверке прочности стального вала при заданном диаметре, материале и допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Собственный вес вала не учитывается

Пример решения задачи на растяжение-сжатие стержня
Задача состоит в проверке прочности стального стержня при заданных допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывается

Применение теоремы о сохранении кинетической энергии
Пример решения задачи на применение теоремы о сохранение кинетической энергии механической системы

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Пример решение задачи на определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения

Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Пример решения задачи на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении

Определение усилий в стержнях плоской фермы
Пример решения задачи на определение усилий в стержнях плоской фермы методом Риттера и методом вырезания узлов

Определение скоростей точек плоской фигуры

Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью полюса А , и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрическииз скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором (рис.3), где - радиус-вектор полюса А , - вектор, определяю­щий положение точки М относительно осей , перемещающих­ся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отноше­нию к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А ). Тогда

В полученном равенстве величина есть скорость полюса А ; величина же равна скорости , которую точка М получает при , т.е. относительно осей , или, иначе говоря, при вращении фигуры вокруг полюса А . Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что

Скорость , которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А :

где ω - угловая скорость фигуры.

Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А , принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скорости находятся построением соответствующего параллело­грамма (рис.4).

Рис.3Рис.4

Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Определение скоростей точек плоской фигуры (или тела, дви­жущегося плоскопараллельно) связано обычно с довольно сложными расчетами. Однако можно получить ряд других, практически более удобных и простых мето­дов определения скоростей точек фигуры (или тела).

Рис.5

Один из таких методов дает тео­рема: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу. Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры (или тела). Принимая точку А за полюс (рис.5), получаем . Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АВ , и учитывая, что вектор перпендику­лярен АВ , находим

и теорема доказана.

Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.

Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на поня­тии о мгновенном центре скоростей.

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигу­ры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Легкоубедиться, что если фигура движется непоступательно , то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная. Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры имеют скорости и , не параллельные друг другу (рис.6). Тогда точка Р , лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору и В b к вектору , и будет мгновенным центром скоростей так как . Всамомделе,еслидопустить, что , то по теореме о проекциях скоростей вектор должен быть одновременно перпендикулярен и АР (так как ) и ВР (так как ), что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точ­ка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю.

Рис.6

Если теперь в момент времени взять точку Р за полюс, то скорость точки А будет

так как . Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигурыопределяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом

Из равенств, следует еще, что точек плоской фигуры пропорциональны их расстоя­ниям от МЦС.

Полученные результаты приводят к следующим выводам.

1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать то­лько направления скоростей и каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, вос­ставленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к каса­тельным к траекториям).

2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры, надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В . Тогда, вос­ставив из точек А и В перпендикуляры к и , построим мгно­венный центр скоростей Р и по направлению определим направ­ление поворота фигуры. После этого, зная , найдем скорость любой точки М плоской фигуры. Направлен век­тор перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры.

3. Угловая скорость плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от мгновенного центра скоростей Р :

Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей.

а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверх­ности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касаю­щаяся неподвижной поверхности (рис.7), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю ( ), и, следовательно, является мгновенным центром скоростей. Примером служит качение колеса по рельсу.

б) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна (рис.8,а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны . При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что т. е. ; аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рас­сматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, т.е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют еще мгновенно поступа­тельным). Угловая скорость тела в этот момент времени, как видно равна нулю.

Рис.7

Рис.8

в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна , то мгновен­ный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рис.8,б. Справедливость построений следует из пропорции. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра Р надо кроме направлений знать еще и модули скоростей .

г) Если известны вектор скорости какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость , то положение мгновенного центра скоростей Р , лежащего на перпендикуляре к (рис.8,б), можно найти как .

Решение задач на определение скорости.

Для определения искомых кинематических характеристик (угловой скорости тела или скоростей его точек) надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой точки сечения этого тела. С определения этих характеристик по данным задачии следует начинать решение.

Механизм, движение которого исследуется, надо изображать на чертеже в том положении, для которого требуется определить соответствующие характеристики. При расчете следует помнить, что понятие о мгновенном центре скоростей имеет место для данного твердого тела. В механизме, состоящем из нескольких тел, каждое непоступательное движущееся тело имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей Р и свою угловую скорость.

Пример 1. Тело,имеющееформука­тушки, катится своим средним цилиндром по неподвиж­ной плоскости так, что (см). Радиусы цилин­дров: R = 4 сми r = 2 см (рис.9)..

Рис.9

Решение. ОпределимскороститочекА,В иС .

Мгновенныйцентр скоростей нахо­дится в точке касания катушки с плоско­стью.

Скоростьполюса С.

Угловая скорость катушки

Скорости точекА иВ направленыперпендикулярноотрезкам прямых, соединяющих эти точки с мгновенным центром скоростей. Величина скоростей:

Пример 2. Колесо радиуса R = 0,6 м катится без скольжения по прямолинейному участку пути (рис.9.1); скорость его центра С постоянна и равна v c = 12 м/с. Найти угловую скорость колеса и скорости концов М 1 , М 2 , M 3 , М 4 вертикального и горизонтального диаметров колеса.

Рис.9.1

Решение. Колесо совершает плоскопараллельное движение. Мгно­венный центр скоростей колеса находится в точке М1 контакта с горизонтальной плоскостью, т. е.

Угловая скорость колеса

Находим скорости точек М2 , M3 и М4

Пример 3 . Ведущее колесо автомобиля радиуса R = 0,5 м катится со скольжением (с буксованием) по прямолинейному участку шоссе; скорость его центра С постоянна и равна v c = 4 м/с. Мгновенный центр скоростей колеса находится в точке Р на расстоянии h = 0,3 м от плоскости качения. Найти угловую скорость колеса и скорости точек А и В его вертикального диаметра.

Рис.9.2

Решение. Угловая скорость колеса

Находим скорости точек А и В

Пример 4. Найти угловую скорость шатуна АВ и скорости точек В и С кривошипно-шатунного механизма (рис.9.3,а ). Дана угловая скорость кривошипа OA и размеры: ω ОА = 2 с -1 , OA = АВ = 0,36 м, АС = 0,18 м.

а) б)

Рис.9.3

Решение. Кривошип OA совершает вращательное движение, шатун АВ - плоскопараллельное движение (рис.9.3,б ).

Находим скорость точки А звена OA

Скорость точки В направлена по горизонтали. Зная направление скоростей точек А и В шатуна АВ, определяем положение его мгновенного центра скоростей - точку Р АВ.

Угловая скорость звена АВ и скорости точек В и С:

Пример 5. Стержень АВ скользит концами по взаимно перпендикулярным прямым так, что при угле скорость (рис.10). Длина стержня AB = l . Определим скорость конца А и угловую скорость стержня.

Рис.10

Решение. Нетрудно определить направление век­тораскороститочкиА , скользящей по вер­тикальнойпрямой. Тогда находится на пересечении перпендикуляровк и (рис. 10).

Угловая скорость

Скорость точки А :

А ско­рость центра стержня С , например,направленаперпендикулярно иравна:

План скоростей.

Пусть известны скорости нескольких точек плоского сечения тела (рис.11). Если эти скорости отложить в масштабе из некоторой точки О и соединитьихконцыпрямыми,то получитсякартинка,котораяназывается планом скоростей. (На рисунке ) .

Рис.11

Свойстваплана скоростей.

а)Стороны треугольников на плане скоростей перпендику­лярнысоответствующим прямым на плоскости тела.

Действительно, . Но на плане скоростей . Значит причём перпендикулярнаАВ , по­этому и .Точно так же и .

б) Стороныплана скоростейпропорциональны соответствующим от­резкам прямых на плоскости тела.

Таккак , то отсюдаи следует, что стороныплана скоростей пропорциональны отрезкам прямых на плоскости тела.

Объединивобасвойства,можносделать вывод,что план скоростей подобенсоответствующейфигуренателе и повёрнут относительно её на 90˚ понаправлениювращения.Этисвойстваплана скоростей позволяют определять скорости точек тела графическим способом.

Пример 6. Нарис.12 вмасштабеизображёнмеханизм. Известна угловая скорость звена ОА .

Рис.12

Решение. Чтобы построить план ско­ростейдолжнабытьизвестна скоростькакой-нибудьодной точкиихотябынаправление вектораскорости другой. В на­шем примере можно определить скорость точки А : и направлениееёвектора .

Рис.13

Откладываем (рис.13) из точки о в масштабе Известно направлениевектораскоростиползунаВ – горизонтальное. Проводим на плане скоростей из точки О прямую I понаправлению скорости , на которойдолжнанаходитьсяточка b , определяющая скорость этой точки В . Таккакстороныпланаскоростей перпендикулярны соответствующим звеньяммеханизма,тоизточкиа проводимпрямуюперпендикулярно АВ допересеченияс прямой I . Точка пересечения определит точку b , а значит и скорость точки В : . По второму свойству плана скоростей его стороны подобны звеньяммеханизма. Точка С делит АВ пополам, значит и с должна делить а b пополам. Точка с определит на плане скоростей величину и направление скорости (если с соединить с точкой О ).

СкоростьточкиЕ равнанулю, поэтомуточка е на плане скоростейсовпадает с точкой О .

Далее.Должнобыть и . Проводим эти прямые, находимихточкупересечения d .Отрезоко d определитвекторскорости .

Пример 7. В шарнирном четырехзвеннике ОАВС ведущий кривошип OA см равномерно вращается вокруг оси О с угловой скоростью ω = 4 с -1 и при помощи шатуна АВ = 20 см приводит во вращательное движение кривошип ВС вокруг оси С (рис.13.1,а ). Определить скорости точек А и В, а также угловые скорости шатуна АВ и кривошипа ВС.

а) б)

Рис.13.1

Решение. Скорость точки А кривошипа OA

Взяв точку А за полюс, составим векторное уравнение

где

Графическое решение этого уравнения дано на рис.13.1,б (план скоростей).

С помощью плана скоростей получаем

Угловая скорость шатуна АВ

Скорость точки В можно найти с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела на соединяющую их прямую

В и угловая скорость кривошипа СВ

Определение ускорений точек плоской фигуры

Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям О xy (см.рис.30) определяется радиусом-вектором - угол между вектором и отрезком МА (рис.14).

Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорениякакой-нибудь другой точки А , принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения , находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.23).

Однако вычисление и ускорения какой-нибудь точки А этой фигуры в данный момент; 2) траектория какой-нибудь другой точки В фи­гуры. В ряде случаев вместо траектории второй точки фигуры до­статочно знать положение мгновенного центра скоростей.

Тело (или механизм) при решении задач надо изображать в том положении, для которого требуется определить ускорение соответ­ствующей точки. Расчет начинается с определения по данным задачи скорости и ускорения точки, принимаемой за полюс.

План решения (если заданы скорость и ускорение одной точки плоской фигуры и направления скорости и ускорения другой точки фигуры):

1) Находим мгновенный центр скоростей, восставляя перпендикуляры к скоростям двух точек плоской фигуры.

2) Определяем мгновенную угловую скорость фигуры.

3) Определяем центростремительное ускорение точки вокруг полюса, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.

4) Находим модуль вращательного ускорения, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.

5) Определяем мгновенное угловое ускорение плоской фигуры по найденному вращательному ускорению.

6) Находим ускорение точки плоской фигуры при помощи формулы распределения ускорений.

При решении задач можно применять «теорему о проекциях векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела»:

«Проекции векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела, которое совершает плоскопараллельное движение, на прямую, повернутую относительно прямой, проходящей через эти две точки, в плоскости движения этого тела на угол в сторону углового ускорения, равны».

Эту теорему удобно применять, если известны ускорения только двух точек абсолютно твердого тела как по модулю, так и по направлению, известны только направления векторов ускорений других точек этого тела (геометрические размеры тела не известны), не известны и – соответственно проекции векторов угловой скорости и углового ускоренияэтого тела на ось, перпендикулярную плоскости движения, не известны скорости точек этого тела.

Известны еще 3 способа определения ускорений точек плоской фигуры:

1) Способ основан на дифференцировании дважды по времени законов плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела.

2) Способ основан на использовании мгновенного центра ускорений абсолютно твердого тела (о мгновенном центре ускорений абсолютно твердого тела будет рассказано ниже).

3) Способ основан на использовании плана ускорений абсолютно твердого тела.

Уравнения плоского движения.

Основная теорема

Движение плоской фигуры в своей плоскости складывается из двух движений: поступательного вместе с произвольно выбранной точкой (полюсом), и вращательного вокруг этого полюса.

Положение плоской фигуры на плоскости определяется положением выбранного полюса и углом поворота вокруг этого полюса, поэтому плоское движение описывается тремя уравнениями:

Первые два уравнения (рис.5) определяют то движение, которое фигура совершала бы при φ = const, очевидно, что это движение будет поступательным, при котором все точки фигуры будут двигаться так же, как полюс А .

Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при х А = const и у А = const, т.е. когда полюс А будет неподвижен; это движение будет вращением фигуры вокруг полюса А.

При этом вращательное движение не зависит от выбора полюса, а поступательное движение характеризуется движением полюса.

Зависимость между скоростями двух точек плоской фигуры.

Рассмотрим две точки А и В плоской фигуры. Положение точкиВ относительно неподвижной системы координат Оху определяется радиусом-вектором r B (рис.5):

r B = r A + ρ,

где r A - радиус-вектор точки А , ρ = АВ

вектор, определяющий положение точки В

относительно подвижных осей Ах 1 у 1 , перемещающихся поступательно вместе с полюсом А параллельно неподвижным осям Оху .

Тогда скорость точки В будет равна

.

В полученном равенстве величина является скоростью полюса А.

Величина равна скорости, которую точка В получает при = соnst, т.е. относительно осей Ах 1 у 1 при вращении фигуры вокруг полюса А . Введем для этой скорости обозначение :

Следовательно,

В

Скорость любой точки В плоской фигуры равна геометрической сумме скорости V A выбранного полюса А и скорости V BA точки во вращательном движении вокруг полюса (рис.6):

Скорость вращательного движения точки направлена перпендикулярно отрезку АВ и равна

Модуль и направление скорости точки В находится построением соответствующего параллелограмма (рис.6).

Пример 1. Найти скорости точек А, В и D обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения, если скорость центра колеса С равна V C .

Решение. Выбираем точку С, скорость которой известна за полюс. Тогда скорость точки А равна

где и по модулю .

Значение угловой скорости ω найдем из условия того, что точка Р колеса не скользит по рельсу и, следовательно, в данный момент равна нулю V Р = 0 .

В данный момент скорость точки Р равна

Так как в точке Р скорости и направлены по одной прямой противоположные стороны и V Р = 0 , то V PC = V C , откуда получаем, что ω = V C . /R , следовательно, V AC = ω R = V C .

Скорость точки А является диагональю квадрата, построенного на взаимно перпендикулярных векторах и , модули которых равны, следовательно

Аналогично определяется скорость точки D. Скорость точки B равна

При этом скорости и равны по модулю и направлены по одной прямой, поэтому V B = 2V C .

Стержень АВ совершает плоское движение, которое можно представить как падение без начальной скорости под действием силы тяжести и вращение вокруг центра тяжести С с постоянной угловой скоростью .

Определить уравнения движения точки В , если в начальный момент стержень АВ был горизонтален, а точка В была справа. Ускорение силы тяжести q . Длина стержня 2l . Начальное положение точки С взять за начало координат, а оси координат направить, как указано на рисунке.

На основании соотношений (2) и(3) уравнения (1) примут вид:

Производя интегрирование и замечая, что в начальный момент t=0, x B =l и y B =0 ,получим координаты точки В в следующем виде.

3.5.1. Метод полюса

Поскольку движение плоской фигуры можно рассматривать как составное из поступательного, когда все точки фигуры движутся так же, как полюс А со скоростью , и вращательного движения вокруг полюса, то скорость любой точки В фигуры определим векторной суммой скоростей (рис.23).

, (65)

где - скорость полюса точки А ;

Скорость точки В при вращении фигуры вокруг полюса точки А (если считать его неподвижным) численно равна

В перпендикулярно ВА в сторону вращения угловой скорости (рис.23).

Численное значение скорости точки В определим по теореме косинусов

где – угол между векторами и , Î .

Равенство проекций является следствием неизменности расстояния между точками А и В , принадлежащими твердому телу, поэтому равенство будет справедливо для любого движения твердого тела.

3.5.2. Метод мгновенного центра скоростей (МЦС)

Мгновенным центром скоростей называется точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Скорости всех других точек плоской фигуры в данный момент времени определяются так, как если бы движение фигуры было вращательным относительно точки Р (рис.25).

Рис.25.

Согласно метода полюса скорость точки В будет равна

. (69)

Так как скорость полюса (МЦС) точки Р равна нулю (), то

Вектор скорости направлен из точки В перпендикулярно ВР в сторону вращения угловой скорости w.

Аналогичное равенство можно представить для всех точек плоской фигуры, таким образом, скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до МЦС.

Для определения положения (МЦС) плоской фигуры, требуется знать направление линий, вдоль которых действуют вектора скоростей точек А и В ( и ). МЦС для данной фигуры будет находиться в точке пересечения перпендикуляров восстановленных к данным линиям.

Для нахождения скорости точки В , согласно рис.25, требуется знать скорость точки А . Тогда угловая скорость движения фигуры в данный момент времени составит

где АР – расстояние точки А до точки Р , определяется согласно исходным данным.

Угловая скорость под действием скорости относительно полюса точки Р направлена по часовой стрелке.

Скорость точки В в данный момент времени составит

Вектор скорости точки В () направлен перпендикулярно линии РВ в сторону вращения угловой скорости w (рис.25).

3.5.2.1. Понятие о центроидах

Траектория, которую описывает МЦС вместе с подвижной фигурой, называется подвижной центроидой (пример, при движении колеса по поверхности без скольжения (табл.2) подвижной центроидой является внешняя окружность колеса).

Геометрическое место МЦС, положений точки Р на неподвижной плоскости, называют неподвижной центроидой (при движении колеса по поверхности без скольжения (см. табл.2) неподвижной центроидой является неподвижная поверхность, по которой катится колесо).

3.5.2.2. Частные случаи МЦС

Таблица 2.

Мгновенно-поступательное движение звена АВ	Движение колеса по поверхности (без скольжения)	Движение подвижного блока
Точка В движется по прямой х-х , следовательно, скорость V B направлена вдоль оси, проводим перпендикуляр к оси х-х . Поскольку перпендикулярные линии не пересекаются, то звено АВ находится в мгновенно-поступательном движении, скорости всех точек этого звена равны, МЦС находится в бесконечности, .	МЦС находится в точке касания колеса с неподвижной поверхностью, по- которой катится колесо, точке Р . Угловая скорость колеса, составит . Скорости точек В , С	МЦС (точка Р ) находится в точке пересечения отрезка АВ и прямой, проходящей через концы векторов и . Определение положения точки Р . Угловая скорость блока