Число делится на 4 без остатка. Основные признаки делимости

26.09.2019 | Препараты

Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.

Основные признаки делимости

Приведем основные признаки делимости чисел :

Признак делимости числа на «2» Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
Признак делимости числа на «3» Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
Признак делимости числа на «4» Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
Признак делимости числа на «5» Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
Признак делимости числа на «6» Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
Признак делимости числа на «8» Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.
Признак делимости числа на «9» Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9
Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9.
Признак делимости числа на «10» Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0
Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0.
Признак делимости числа на «11» Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11
Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7.
Признак делимости числа на «25» Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75
Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.

Признаки делимости на составное число

Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители , признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа - это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.

Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.

Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 4. Выполнил ученик 6 класса МБОУ Помринская ОШ Калинин Павел

2 слайд

Описание слайда:

ВВЕДЕНИЕ Имея дело с натуральными числами, иногда возникает вопрос о выполнимости действия деления нацело этих чисел, т.е. о делимости этих чисел. В данной работе я остановлюсь на признаке деления на четыре. Для выяснения того, делится ли одно число на другое,существует несколько способов. Один из них состоит в непосредственном делении этих чисел. Другим способом выяснения делимости является применение признаков делимости. Мне стало интересно, а существуют ли еще признаки делимости, кроме тех, что мы изучали в 6 классе (на 2,3,5,9,10), и как их вывести. Для своей работы я выбрал признак делимости на 4 и решил узнать, можно ли определить только по виду числа, делится оно на 4 или нет

3 слайд

Описание слайда:

ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ И ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ. Задача Как по виду числа, не выполняя деления, узнать, делится число на 4 или нет. Постановка проблемы: Сформулировать признак делимости на 4 для любого натурального числа.

4 слайд

Описание слайда:

РАЗБОР ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ 3.Рассмотрим частные случаи, выполняя деление столбиком, записывая только ответ. 100/4=25 5000/4=1250 70000/4=17500 60/4=15 6328/4=1582 7777/4=1944,75 598/4=149,5 9184/4=2286 8592/4=2148 913/4=228,25 654/4=163,5 3647/4=911,75 927/4=231,75 3583/4=895,75 6547/4=1636,75 132/4=33 554/4=138,5 952/4=238 1384/4=346 51/4=12,75 7234/4=1808,5 30/4=7,5

5 слайд

Описание слайда:

ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ Число Делимость на 4 (+/-) Число Делимость на 4 (+/-) 100 + 913 - 5000 + 3583 - 70000 + 6547 - 60 + 132 + 6328 + 232 + 7777 - 554 - 9184 + 952 + 598 - 1384 + 8592 + 51 - 654 - 7234 - 3647 - 30 -

6 слайд

Описание слайда:

ГИПОТЕЗА Возникает гипотеза, что на 4 делятся те и только те числа, которые заканчиваются на два нуля или две последние цифры которого образуют число, делящееся на четыре.

7 слайд

Описание слайда:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ Теорема 1 (теорема о делимости суммы). Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число. Теорема 2 (теорема о делимости произведения). Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

8 слайд

Описание слайда:

1СЛУЧАЙ 1.Рассмотрим число а=100∙n, где n – натуральное число. Тогда по теореме 2 число а делится на 4.

9 слайд

Описание слайда:

2 СЛУЧАЙ 2. Рассмотрим число вида а=100∙n + 10∙k + r= 100∙n + (10∙k + r), k,r – натуральные числа и 0. Здесь n – число сотен, к– число десятков, r– число единиц. Тогда по теореме 1: если первое слагаемое 100∙n делится на 4 и второе слагаемое (10∙k + r) тоже делится на 4, то и всё число делится на 4. Первое слагаемое 100∙n делится на 4, т.к. одним из множителей является число 100, которое делится на 4. Значит, 100∙n тоже делится на 4. Второе слагаемое (10∙k + r) тоже должно делиться на 4. А оно будет делиться на 4 в том случае, если будет представлять собой число, которое делится на 4. В то же время второе слагаемое (10k + r) является двумя последними цифрами числа. Отсюда получаем, что, если две последние цифры числа представляют собой число, делящееся на 4, то и всё число делится на 4. Таким образом, гипотеза доказана.

10 слайд

Описание слайда:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Результаты данного исследования позволяют сравнительно быстро определить делится число на 4 или нет без необходимости выполнять фактическое деление. Признаки делимости используются при сокращении дробей. Также эти знания понадобятся при нахождении наибольшего общего делителя чисел и при нахождении общего знаменателя. Признак делимости на 4 может понадобится и при решении задач такого вида: Можно ли разместить 718 человек в четырехместные каюты так, чтобы в каютах не оставалось свободных мест? В записи 4791*31* замените звездочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 4. И, конечно, мы используем признаки делимости при устном счете в быту, в магазине и т.д.

Продолжаем изучать признаки делимости . В этой статье разобран признак делимости на 4 . Сначала дана его формулировка и приведены примеры использования. Дальше показано доказательство признака делимости на 4 . В заключение рассмотрены подходы, позволяющие доказывать делимость на 4 чисел, заданных в виде значения буквенного выражения.

Навигация по странице.

Признак делимости на 4, примеры

Чтобы проверить, делится ли на 4 данное , проще всего выполнить деление непосредственно, из однозначных чисел на 4 делятся только 4 и 8 . Разделить двузначное натуральное число на 4 также не составит труда (даже при устном делении). Например, 24 делится на 4 без остатка, так как 24:4=6 , а 83 не делится нацело на 4 , так как 83:4=20 (ост. 3) (при необходимости смотрите статьи и ). Но чем больше цифр содержится в записи числа, тем «неприятнее» проводить деление.

Для более простой проверки делимости данного многозначного числа существует признак делимости на 4 , который сводит исследование данного числа a на его способность делиться на 4 к проверке на делимость однозначного или двузначного числа. Приведем формулировку этого признака. Целое число a делится на 4 , если число, составленное из двух последних цифр в записи числа a (в порядке их следования) делится на 4 ; если же составленное число не делится на 4 , то и число a не делится на 4 .

Рассмотрим примеры применения признака делимости на 4 .

Пример.

Какие из чисел −98 028 , 7 612 и 999 888 777 делятся на 4 ?

Решение.

Воспользуемся признаком делимости на 4 .

Две последние цифры −98 028 дают число 28 , так как 28 делится на 4 (28:4=7 ), то и число −98 028 делится на 4 .

Две последние цифры числа 7 612 составляют число 12 , а 12 делится на 4 (12:4=3 ), следовательно, 7 612 делится на 4 .

Наконец, две последние цифры числа 999 888 777 дают число 77 , так как 77 не делится нацело на 4 (77:4=19 (ост.1) ), то и исходное число не делится на 4 .

Ответ:

−98 028 и 7 612 .

А как применять признак делимости на 4 , если две последние цифры в записи числа представляют собой, например, 01 , 02 , 03 , …, 09 ? В этих случаях цифру 0 , стоящую слева, нужно отбросить, после чего останется однозначное число 1 , 2 , 3 , …, 9 .

Пример.

Делится ли числа 75 003 и −88 108 на 4 ?

Решение.

Посмотрим на две последние цифры в записи числа 75 003 - видим 03 , отбрасываем нуль слева и имеем число 3 . Так как 3 не делится на 4 , то по признаку делимости на 4 можно сделать вывод о том, что 75 003 не делится на 4 .

Аналогично две последние цифры в записи числа −88 108 составляют число 8 , а так как 8 делится на 4 , то и число −88 108 делится на 4 .

Ответ:

75 003 не делится на 4 , а −88 108 – делится.

Отдельно нужно сказать о числах, в записи которых справа две подряд цифры (или большее их количество) являются нулями. Приведем примеры таких чисел: 100 , 893 900 , 40 000 , 373 002 000 и т.п. Такие числа делятся на 4 . Обоснуем это.

Число 100 делится на 4 . Действительно, 100:4=25 . позволяет представить любое другое целое число a , запись которого оканчивается двумя нулями, в виде произведения a 1 ·100 , где число a 1 получается из числа a , если в его записи справа отбросить два нуля. Например, 588 300=5 883·100 и 30 000=300·100 . А произведение a 1 ·100 делится на 4 , так как содержит множитель 100 , который делится на 4 (смотрите свойства делимости). Так доказано, что любое целое число, в записи которого справа находятся два нуля, делится на 4 .

Доказательство признака делимости на 4

Для доказательства признака делимости на 4 нам понадобится следующее представление натурального числа a . Любое натуральное число a можно представить в виде a=a 1 ·100+a 0 , где число a 1 получается из числа a , если в его записи убрать две последние цифры, а число a 0 отвечает двум последним цифрам в записи числа a . Например, 5 431=54·100+31 . Если же число a однозначное или двузначное, то a=a 0 .

Также нам пригодятся два свойства делимости:

чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b ;
если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Теперь можно привести доказательство признака делимости на 4 , который мы предварительно переформулируем в виде необходимого и достаточного условия делимости на 4 .

Теорема.

Для делимости целого числа a на 4 необходимо и достаточно, чтобы число, отвечающее двум последним цифрам в записи числа a , делилось на 4 .

Доказательство.

Для a=0 теорема очевидна.

Для остальных целых a a есть число положительное, и его можно представить как , о чем мы сказали перед теоремой.

В конце первого пункта данной статьи мы показали, что произведение a 1 ·100 всегда делится на 4 . Если еще учесть приведенные перед теоремой свойства делимости, то приходим к следующим выводам.

Если число a делится на 4 , то и модуль числа a делится на 4 , тогда из равенства следует делимость на 4 числа a 0 . Этим доказана необходимость.

С другой стороны из делимости a 0 на 4 и равенства следует делимость на 4 модуля a , откуда следует делимость на 4 и самого числа a . Этим доказана достаточность.

Другие случаи делимости на 4

Иногда требуется проверить делимость на 4 целого числа, которое задано в виде значения некоторого выражения. В таких случаях провести непосредственное деление не представляется возможным. Также использование признака делимости на 4 возможно далеко не всегда. Как же быть в этих случаях?

Основная идея состоит в приведении исходного выражения к произведению нескольких множителей, один из которых делится на 4 . В этом случае на основании соответствующего свойства делимости можно будет сделать вывод о делимости исходного выражения на 4 .

Иногда получить такое представление помогает . Приведем пример для пояснения.

Пример.

Делится ли на 4 значение выражения при некотором натуральном n ?